에서마지막 섹션, 각 제약조건을 단일 에이전트로 제어해야 한다는 제한을 완화하고 도입했습니다.공유 제약조건. 이 섹션에서는 한 단계 더 나아가 다음을 허용합니다.공유 슬롯 사이트. 이 섹션의 내용은 Kim & Ferris(2017) [에서 발췌되었습니다.108].

먼저, 우리는의 개념을 소개합니다암시적 슬롯 사이트. 수학적인 용어로, \(x\)의 각 값에 대해 \((y,x) \in X\)를 만족하는 최대 하나의 \(y\) 값이 있는 경우 슬롯 사이트 \(y\)를 암시적 슬롯 사이트라고 합니다. 이러한 암시적 슬롯 사이트에는 \((g(x),x) \in X\)와 같은 단 하나의 함수 \(g(\cdot)\)가 존재합니다. 여기서 \(g\)는 집합 \(\x \, | \, \존재합니다 \, y \; \textrm그러한 \; (y,x) \in X \ \). 집합 \(X\)는정의 제약슬롯 사이트 \(y\)의: \(y\) 값은 정의 제약 조건을 통해 \(x\) 값에 의해 암시적으로 정의됩니다. 현재 구현에서 정의 제약조건은 방정식 시스템으로만 표현될 수 있으며 암시적 슬롯 사이트는 GAMS에서 자유 슬롯 사이트여야 합니다.

공유 슬롯 사이트균형 문제는 슬롯 사이트를 공유하는 모든 에이전트에 대해 동일한 정의 제약 조건을 갖는 암시적 슬롯 사이트입니다. 따라서 정의 제약조건은 공유 제약조건이 됩니다. 공유 결정 슬롯 사이트 \(y\)와 그 정의 제약 조건 \(X = \(y,x) \, | \, H(y,x) = 0 \\)을 사용하여 다음 평형 문제를 고려해보세요.

\begin방정식 \tag 18

\(N\) 에이전트가 있다는 점에 유의하세요. \(m\)은 슬롯 사이트 \(y\)의 차원이고 \(n = \sum_i n_i\)입니다. 여기서 \(n_i\)는 \(x_i\)의 차원입니다. 에이전트가 4개 있다고 가정하면 이 예는 다음과 같이 GAMS EMP에서 구현될 수 있습니다.

i / 1*4/ 설정;
슬롯 사이트 obj(i), x(i), y;

방정식 def(i), defH;

모델 sharedv / def, defH /;

파일 empinfo / '%emp.info%' /;
empinfo '평형' 입력 /;
'암시적 y defH'를 입력하세요. /;
루프(나,
   put 'min', obj(i), x(i), y, deff(i) /;
);
putclose empinfo;

EMP를 사용하여 sharedv를 해결합니다.

에서EMP 주석, 그EMP 키워드 암시적암시적 슬롯 사이트를 선언하는 데 사용됩니다.y및 정의 제약조건defH. 키워드에 유의하세요암시적다음에는 슬롯 사이트-제약 쌍이 와야 합니다. 단일 키워드로 여러 쌍이 지정된 경우암시적, 이는 암시적 슬롯 사이트와 해당 정의 제약 조건의 단일 벡터를 형성하도록 확장됩니다.

참고

암시적 슬롯 사이트가 선언되었습니다.이전에이전트 문제가 정의되었습니다.

공유슬롯 사이트를 관찰하세요y은 각 에이전트의 문제 사양에 나타납니다. 그러나 정의 방정식defH은 암시적 슬롯 사이트의 일부로 간주되므로 각 문제 사양에는 나타나지 않습니다.

공유 슬롯 사이트의 평형 문제에 대한 재공식화 전략

다른 평형 문제와 마찬가지로, 공유 슬롯 사이트를 사용한 평형 문제는 EMP 도구에 의해 MCP로 재구성됩니다. 공유된 의사결정 슬롯 사이트가 관련된 경우 사용자는 세 가지 다른 재구성 전략 중에서 선택할 수 있습니다. 첫 번째 전략에서 공유 슬롯 사이트는 다음과 같습니다.복제됨각 에이전트에 대해 해당 KKT 조건이 계산되어 다음 MCP가 생성됩니다.

\begin방정식 \tag 19

이 MCP에서 제약 조건 \(H\)와 슬롯 사이트 \(y\)는 \(N\)번 복제됩니다. MCP의 크기는 \((n + 2mN)\)입니다. 이 재구성은 옵션을 지정하여 얻습니다.ImplVarModel=복제JAMS 옵션 파일에 있습니다.

두 번째 재구성 전략에는 다음이 포함됩니다.전환각 공유 슬롯 사이트는 해당 정의 방정식과 연관된 승수를 갖습니다. 이 기술은 다음 세 가지 조건이 모두 충족되는 경우 적용될 수 있습니다.

1. 정의 제약 조건은 방정식으로 제공됩니다.
2. 정의 제약 범위의 차원은 공유 슬롯 사이트의 차원과 같습니다.
3. 공유 슬롯 사이트는 자유(무제한) 슬롯 사이트입니다.

전환 전략은 MCP에서 자유 슬롯 사이트와 방정식 간의 일치가 다소 임의적이라는 사실을 사용합니다. 즉, 솔루션을 변경하지 않고 다시 할당할 수 있습니다. 이 기술을 적용하면 다음 MCP를 얻습니다.

\begin방정식 \tag 20

이 MCP에서 정의 제약조건 \(H\)와 공유 슬롯 사이트 \(y\)가 한 번만 나타나는 것을 관찰하십시오. 따라서 문제의 크기는 \((n + mN + m)\)로 줄어듭니다. EMP 프레임워크는 옵션이 있는 경우 이 재구성을 사용합니다.ImplVarModel=전환 중이 JAMS 옵션 파일에 지정되어 있습니다. 이것이 현재 사용되는 기본 전략입니다.

옵션을 지정하여 세 번째 전략을 선택합니다.ImplVarModel=대체28744_28813대체승수 \( \mu_i \)와 새 슬롯 사이트 \( \Lambda_i \), 여기서 \( \Lambda_i = \bigtriangledown_x_i H(\bigtriangledown_y H)^-1 \). 이 기술은 다음과 같은 경우에 적용될 수 있습니다.세 가지 조건29080_29838108].

\begin방정식 \tag 21

이 MCP의 크기는 \((n+mn+m)\)입니다. 공유 슬롯 사이트가 다음과 같은 경우 크게 줄어들 수 있습니다.명시적으로예를 들어 \( H(y,x) = y-h(x) \)로 정의되었습니다. 이 경우 \((\bigtriangledown_y H)^-1\)는 단위 행렬이므로 슬롯 사이트 \(\Lambda_i\)를 도입할 필요가 없으며 MCP는 다음 형식을 사용합니다.

\begin방정식 \tag 22 \begin배열ll F(z) = [(F_i(z)^T)_i=1^N, F_h(z)^T]^T, & z = [(z_i^T)_i=1^N, z_h^T]^T \\ F_i(z) = \beginbmatrix

이 MCP의 크기는 \( (n+m) \)이며 이는 다른 공식에 비해 크게 감소한 것입니다. EMP 프레임워크는 공유 슬롯 사이트가 명시적으로 정의되어 있는지 자동으로 감지하고 이 사실을 활용합니다. 다음 표에는 다양한 재공식화 기술에 대한 MCP 크기의 개요가 나와 있습니다.

표 2:다양한 재구성 기술에 대해 재구성된 MCP의 크기

공유 슬롯 사이트의 평형 문제: 간단한 예

다음의 간단한 예는 이중 승수 \(y\)를 사용하는 단일 등식 제약 조건에 따라 \(x\)에 대한 최소화와 관련된 라그랑지안의 안장점을 계산합니다. GAMS EMP 구현은 김영대 님이 맡았습니다. 원(최소화) 에이전트와 이중(최대화) 에이전트는 슬롯 사이트를 공유합니다.L라그랑지안의 값과 그 정의 방정식을 포함defL:

설정 i / 1*2 /;
슬롯 사이트
  L '라그랑주 함수: f(x) - y * h(x)'
  x(i) '원시 슬롯 사이트'
  y '이중 슬롯 사이트'
  ;
방정식 defL;
데프..
   L =e= 합i, sqr(x(i)-1) - y*(합i, x(i) - 4);

모델 m / defL /;
파일 empinfo / '%emp.info%' /; putclose empinfo
  '평형' /
  '암시적 L defL' /
  ' 최소 L x' /
  '최대 Ly'/
  ;

emp를 사용하여 m을 해결합니다.

슬롯 사이트에 유의하세요L인덱싱되지 않고 각 에이전트의 최적화 문제에 나타납니다. 암시적 슬롯 사이트로 선언됩니다(키워드 사용).암시적) 다음 첫 번째 줄에서평형키워드. 정의 제약defL은 같은 줄에 한 번만 나열됩니다. 각 에이전트의 문제 사양에는 나타나지 않습니다. 라그랑지안을 공유 슬롯 사이트로 모델링하면 해당 정의 방정식을 각 에이전트에 대해 복제할 필요가 없습니다.

공유 결정 슬롯 사이트와 공유 목표 슬롯 사이트를 모두 포함하는 더 복잡한 다른 예는 Kim & Ferris 2017을 참조하세요. [108] .