크레이지 슬롯동부등식(QVI)

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크레이지 슬롯동 부등식은 다음의 일반화입니다.변동 불평등모델: VI에서는 실행 가능한 집합이 고정되어 있는 반면, QVI에서는 실행 가능한 집합이 모델의 변수에 따라 달라지거나 변수의 함수가 되도록 허용합니다. 반복을 피하기 위해 귀하가 이미 에 대한 이론과 표기법에 익숙하다고 가정합니다.VI모델. 이 섹션에서는 다음을 제시합니다.수학적 공식QVI의, 줘예GAMS 크레이지 슬롯를 사용하여 QVI를 모델링하는 방법 및 소개QVI 관련 크레이지 슬롯 주석.

크레이지 슬롯형 부등식: 수학적 공식

주어진 연속 함수 \(F: \mathbbR^n \rightarrow \mathbbR^n\) 및 점-집합 매핑 \(K(y): \mathbbR^n \rightarrow \mathbbR^n\)에 대해 크레이지 슬롯형 불평등 문제 \(QVI(F,K)\)는 점 \(y^*을 찾는 것입니다. \in K\) 다음과 같습니다:

\begin방정식

여기서 \(\langle \cdot, \cdot \rangle \)은 일반적인 내부 곱을 나타냅니다.

점-설정 매핑 \(K(y): \mathbbR^n \rightarrow \mathbbR^n\)이 일정하면 위의 QVI가 VI로 줄어듭니다. \(K(x)\)를 \(x\)의 함수로 정의하려면 변수 \(y\)의 섀도우 복사본 \(x\)을 도입하는 것이 편리합니다. 관심 변수 \(y\)와 매개변수 변수 \(x\)라는 두 가지 형태로 나타나는 변수는 단 하나뿐이라는 점을 이해해야 합니다. \(y\)가 나타나는 곳에는 일반적인 의미의 변수가 있으며, 최적 조건을 도출할 때 이 변수에 대해 파생 상품을 취합니다. \(x\)가 나타나는 곳에 상수 변수가 있습니다. 즉, 최적 조건을 도출할 때 이 변수가 고정되어 있다고 가정합니다. 이제 \(g(y,x)\) 함수를 사용하여 \(K(\cdot)\)를 정의하고 QVI를 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 다음과 같은 점 \(y^* \in K\)(관련 매개변수 변수 \(x^*\))를 찾습니다.

\begin방정식

EMP를 사용한 크레이지 슬롯형 부등식: 간단한 예

다음의 간단한 2차원 선형 예를 고려해보세요. \(y\)를 해당 매개변수 변수 \(x\)와 함께 관심 변수로 두고 다음과 같이

\begin방정식

이 \(QVI(F,K)\)에는 \(y=(10, 5)\) 해가 있습니다. 이 문제는 다음과 같이 크레이지 슬롯를 사용하여 GAMS에서 구현할 수 있습니다.

설정 i / 1*2 /;
별칭(i,j);

테이블 A(i,j)
      1 2
1 2 [8/3]
2 [5/4] 2 ;

매개변수
  b(i) / 1 [100/3], 2 22.5 /
  Cy(i,j) / 1.1 1, 2.2 1 /
  Cx(i,j) / 1.2 1, 2.1 1 /
  rhs(i) / 1 15, 2 20 /
  ;
긍정적인 변수
  y(j) '관심 변수, 일명 결정 변수'
  x(j) 'y를 가리는 매개변수 변수'
  ;
y.up(j) = 11;   x.up(j) = 11;
방정식
  F(i) '에이전트 최적화 모델을 위한 FOC'
  g(i) 'QVI에 대해 실행 가능한 집합 K(x)를 정의합니다.'
  ;
F(i).. sumj, A(i,j)*y(j) - b(i) =N= 0;

g(i).. sumj, Cy(i,j)*y(j) + sumj, Cx(i,j)*x(j) =L= rhs(i);

모델 m / F, g /;
파일 주석 / '%크레이지 슬롯info%' /;
putclose 주석 'qvi F y x g' ;
크레이지 슬롯를 사용하여 m을 해결합니다.

함수 \(F\)와 제약 조건 \(g\)이 표준 GAMS 구문을 사용하여 공식화되는 것을 관찰하세요. \(F\)는 다음 방정식으로 구현됩니다.유형 =n=, 이는 왼쪽과 오른쪽 사이의 관계를 암시하거나 강요하지 않습니다. 대신, 이 관계는 경계를 기준으로 일치하는 변수(크레이지 슬롯 정보 파일에 제공됨)의 위치에 의해 암시됩니다.주석크레이지 슬롯 정보 파일에서 QVI의 구조를 정의합니다. 즉, 어떤 함수가 어떤 변수와 일치하는지, 매핑 \(K(x)\)을 정의하는 데 사용되는 제약 조건이 무엇인지 정의합니다.크레이지 슬롯 키워드 qvi모델이 QVI이고 QVI 함수임을 나타냅니다.F관심 변수와 일치합니다.y매개변수 변수 포함x, 그리고 제약 조건g매핑 \(K(x)\)을 정의합니다.

QVI 문제에는 목표가 없으므로,약식solv 문이 사용됩니다.

솔버 JAMS는 QVI를 MCP로 재구성하고 이를 MCP 하위 솔버에 전달합니다.크레이지 슬롯 요약JAMS에서 생성된 내용에는 다음 줄이 포함됩니다:

--- 크레이지 슬롯 요약
    ...
    VI 함수 = 2
    QVI 매개변수 = 2
    ...

이 출력은 위 모델에 세트의 각 구성원에 대해 하나씩 두 개의 VI 함수가 있다는 사실을 반영합니다.i, 그리고 이 함수와 일치하는 각 변수는 매개변수 변수에 의해 가려졌습니다.

GAMS 크레이지 슬롯 라이브러리에는 두 개의 QVI 모델이 있습니다. 모델[SIMPLEQVI1]그리고[SIMPLEQVI2](위에 표시된 예의 확장 버전).

크레이지 슬롯동 부등식에 대한 EMP 구문

일반 구문은크레이지 슬롯 주석크레이지 슬롯동 부등식을 지정하는 데 사용되는 방법은 다음과 같습니다.

QVI 0 var [ 매개변수 변수] | [-] equ var [parameterVar]   [-] equ

그크레이지 슬롯 키워드 qvi는 이것이 크레이지 슬롯동 불평등 사양임을 나타냅니다. QVI에 포함된 모든 변수와 방정식은 명시적으로 나열되어야 합니다. 먼저 VI 함수, 일치하는 변수, 그리고 (선택적으로) 이러한 변수를 숨기는 매개변수 변수가 있습니다. QVI에는 다음이 없습니다.이전 변수우리가 한 것처럼VI 사양:: 대신, 0 함수에 대한 암시적 일치는 숫자로 표시됩니다.0방정식 기호가 나타나는 곳에 나타납니다. 함수/변수 쌍이 나열된 후,후행 방정식(즉, 매핑 \(K(\cdot)\))을 정의하는 방정식/제약조건이 나타납니다.