저자

크리스토둘로스 A. 플루다스,floudas@titan.princeton.edu; 컴퓨터 지원 시스템 연구실; 화학 및 생물 공학과; 프린스턴 대학교

루스 미제너,r.misener@imperial.ac.uk; 프로세스 시스템 엔지니어링 센터; 임페리얼 칼리지 런던

날짜

2013년 4월 16일

소개

비슬롯 게임 방정식의 연속/정수 전역 최적화를 위한 알고리즘인 ANTIGONE은 결정론적 일반 혼합 정수 비슬롯 게임 전역 최적화 프레임워크입니다. [133, 134, 135, 136, 137] .

MINLP정의됨:

\[ \begin배열rl \tagMINLP \분\; & \phantomb_m^\mathrmLO \leq f_0(\boldsymbolx, \, \boldsymboly, \, \boldsymbolz) \\[8pt] \texts.t. & b_m^\mathrmLO \leq f_m(\boldsymbolx, \, \boldsymboly, \, \boldsymbolz) \leq b_m^\mathrmUP \quad \forall \; m \in \ 1, \, \ldots, \, M \ \\[10pt] & \boldsymbolx \in \mathbbR^C; \; \boldsymboly \in \left\ 0, \, 1 \right\^B; \; \boldsymbolz \in \mathbbZ^I \\ \end배열

여기서 \(C\), \(B\), \(I\) 및 \(M\)은 각각 연속 변수, 이진 변수, 정수 변수 및 제약 조건의 수를 나타냅니다. 매개변수 벡터 \(\boldsymbolb_m^\mathrmLO\) 및 \(\boldsymbolb_m^\mathrmUP\)는 제약 조건을 제한합니다. 우리는 비슬롯 게임 항 \(f_m\)에 참여하는 변수에 대해 유한 경계 \(\left[ x_i^L, \, x_i^U \right]\)를 추론하는 것이 가능하고 \(f_m\)의 이미지가 \(\boldsymbolx\)에서 유한하다고 가정합니다. \(f_0(\boldsymbolx, \, \boldsymboly, \, \boldsymbolz)\) 및 \(f_m(\boldsymbolx, \, \boldsymboly, \, \boldsymbolz)\)에 대한 일반적인 표현식은 다음과 같습니다.

\[ \begin분할

여기서 거듭제곱 \(p_s_m, \, c\)은 상수 실수입니다. \(c_m, \, a_m, \, Q_m, \, c_s_m, \, c_e_m, \, c_\ell_m\)은 상수 계수입니다. \(S_m\), \(E_m\), \(L_m\)은 각각 부호항, 지수항, 로그 항의 개수입니다.

그림과 같이다음 그림, 슬롯 게임은 내부의 특수 구조를 활용하기 위해 동적으로 반응합니다.(MINLP). ANTIGONE은 다음과 같은 이유로 광범위하게 슬롯 게임 및 경계 전역 최적화 범주에 속합니다. 전역 솔루션을 엄격하게 바인딩하는 비볼록 MINLP의 볼록 완화를 생성하고 해결합니다. 로컬 최적화를 통해 실현 가능한 솔루션을 찾습니다. 전역 최적으로 수렴하는 일련의 볼록 완화를 생성하기 위해 실행 가능한 세트를 분할하고 정복합니다. [65, 64] .

MINLP 최적화 문제가 주어지면 슬롯 게임은 모델을 재구성하고 재구성된 MINLP에서 특수 구조를 감지하고 최적화 문제를 해결하고 원래 문제 변수와 관련하여 모델을 반환합니다.

라이센스 및 소프트웨어 요구사항

GAMS/슬롯 게임을 사용하려면 다음이 필요합니다.

1. 슬롯 게임 라이센스,
2. CPLEX 라이센스 및
3. CONOPT 또는 SNOPT 라이센스.

GAMS/슬롯 게임 실행 중

GAMS/슬롯 게임이 해결합니다:NLP;MINLP;RMINLP;QCP;MIQCP;RMIQCP;CNS. GAMS/슬롯 게임이 이러한 모델의 기본 솔버가 아닌 경우 다음 명령을 사용하여 호출할 수 있습니다.해결성명:

옵션 nlp=안티고네, minlp=안티고네, rminlp=안티고네;

GAMS/슬롯 게임 출력

아래 표시된 로그 출력은 MINLP 모델을 사용하여 생성됩니다.cecil_13MINLPLib에서.

------------------------------------------------------------------
ANTIGONE: 연속/정수 전역 최적화를 위한 알고리즘; 버전 1.0

          루스 미제너(Ruth Misener)와 크리스토둘로스 A. 플루다스(Christodoulos A. Floudas)

          CASL(컴퓨터 지원 시스템 연구실)
          화학 및 생물 공학과; 프린스턴 대학교
------------------------------------------------------------------

전처리 전:
          840 변수
                 660 연속
                 180 바이너리
          929 방정식

전처리 후:
          520개의 변수
                 418 연속
                 102 바이너리
          499 방정식
                 291 리니어
                 208 비볼록 비선형
          232 비선형항
                 232 시그노미널
          730 가능한 재구성 선형화 기법(RLT) 방정식
             공식화에 완전히 추가된 34개의 RLT 방정식

구성 라이브러리:
            CPLEX 휴식 해결
            CONOPT 실현가능점 찾기
            LAPACK 주소 지정 선형 시스템
            부스트 경계 간격

------------------------------------------------------------------
시간(초) 탐색된 노드 남은 노드 수 가능한 최고로 발견된 상대 간격
------------------------------------------------------------------

      65 1 1 -1.158e+05 -1.157e+05 +1.032e-03
     134 1 1 -1.157e+05 -1.157e+05 +4.337e-04
     202 1 1 -1.157e+05 -1.157e+05 +4.334e-04
     258 1 1 -1.157e+05 -1.157e+05 +4.140e-06
     트리 수준 0에서 MILP 완화 해결 ----------------------------------
     341 1 1 -1.157e+05 -1.157e+05 +4.091e-06
     413 1 1 -1.157e+05 -1.157e+05 +4.011e-06
     트리 수준 0에서 MILP 완화 해결 ----------------------------------
     483 1 1 -1.157e+05 -1.157e+05 +4.001e-06
     571 1 1 -1.157e+05 -1.157e+05 +3.959e-06
     트리 수준 0에서 MILP 완화 해결 ----------------------------------
     640 1 1 -1.157e+05 -1.157e+05 +3.880e-06
     트리 수준 0에서 MILP 완화 해결 ----------------------------------
     702 1 0 -1.157e+05 -1.157e+05 +1.000e-06

------------------------------------------------------------------
종료 상태 : 글로벌 최소
가장 실현 가능한 지점: -1.156565e+05
최적의 지점: -1.156566e+05
       상대 간격: +1.000000e-06
알고리즘 분석:

                  0개의 노드를 탐색했습니다.
                  0개 노드 남음

                  0 최대 트리 깊이

                183개의 절단 평면(183개는 전 세계적으로 유효함)
                       183 시그노미널

             702.38 총 시간(CPU)
                      0.07 전처리
                    698.56 MILP 이완 해결
                      0.95 실현 가능한 솔루션 검색
                      2.79 가변 경계 강화
                             2.31 OBBT
                             1.48 FBBT(0.13 EC, 0.92 RLT, 0.00 인수분해)
                      0.00 슬롯 게임
                             0.00 신뢰성 슬롯 게임
-----------------------------------------------------

슬롯 게임 옵션 요약

일반 옵션

MILP 완화 해결 옵션

타당한 해결책을 찾기 위한 옵션

슬롯 게임 옵션

경계 옵션

콘솔에 로깅 옵션

특수 구조 처리를 위한 옵션

또한 GAMS 옵션스레드예를 들어 2차 계수 행렬의 고유값을 계산할 때 슬롯 게임 대수 루틴에 사용할 프로세서 수를 지정합니다. 기본적으로 사용 가능한 모든 프로세서가 사용됩니다.

슬롯 게임 옵션에 대한 자세한 설명

abs_opt_tol (진짜): 절대 중지 허용 오차↵

기본값:GAMS optca

adaptive_add_rlt (부울): 동적 접근 방식을 사용하여 깊은 RLT 컷을 적응적으로 결정하시겠습니까?↵

슬롯 게임 및 경계 트리의 처음 몇 레벨에서 초기 완화를 해결한 후 RLT 방정식을 쿼리합니다. 위반된 방정식을 완화에 추가하고 해결합니다. 가장 일반적으로 위반되는 방정식을 추적하고 해당 부분을 이후 노드에 포함합니다.

기본값:1

adaptive_add_rlt_tree_length (정수): 깊은 RLT 컷을 적응적으로 결정하는 휴리스틱을 위한 트리 깊이↵

지정된 트리 깊이까지 RLT 방정식을 위반하는 경우 노드의 완화를 두 번 해결합니다. 이 깊이 이후에는 가장 일반적으로 위반되는 컷을 각 노드의 솔루션에 자동으로 추가합니다.

범위:1, ...,100}

기본값:3

add_bilinear_terms (부울): 깊은 RLT 절단을 생성하기 위해 볼록하지 않은 이중슬롯 게임 항 추가 허용↵

기본값:1

branching_bounds_push_away (진짜): 변수 경계에서 최소 부분을 슬롯 게임합니다.↵

범위: [0, 0.5]

기본값:0.1

branching_weight (진짜): 중간점과 해의 볼록 조합에서 슬롯 게임↵

슬롯 게임 가중치는 변수의 중간점에 대한 강조를 지정하므로 더 큰 슬롯 게임 가중치는 변수 범위의 중심에 더 가까운 슬롯 게임를 의미합니다.

범위: [0, 1]

기본값:0.25

conopt_optfile (문자열): 모든 NLP 하위 해결에 적용될 보조 GAMS/CONOPT 옵션 파일을 읽습니다.↵

다음에 직접 접근할 수 있습니다.GAMS/CONOPT 옵션. 문자열 값은 GAMS/CONOPT 옵션 파일의 이름과 일치해야 합니다.

convexity_cuts (부울): 다변수 항에 대한 볼록성 기반 분리 절단을 도출하시겠습니까?↵

기본값:1

cplex_optfile (문자열): 모든 LP 및 MILP 하위 해결에 적용될 보조 GAMS/CPLEX 옵션 파일을 읽습니다.↵

다음에 직접 접근할 수 있습니다.GAMS/CPLEX 옵션. 예를 들어 옵션 파일을 지정하면 다중 스레드로 CPLEX 하위 해결 프로그램을 실행할 수 있습니다. 문자열 값은 GAMS/CPLEX 옵션 파일의 이름과 일치해야 합니다.

cut_ Generation_epsilon (진짜): 초평면 분리를 위한 절대 위반 임계값↵

볼록 다변수 항에 대한 분리 초평면을 생성하기 위한 절대 위반 임계값

범위: [1e-7, 10]

기본값:1e-4

dominant_ec_only (부울): 완화에 우세한 컷을 도입하는 저차원 가장자리-오목 집계만 추가하시겠습니까?↵

기본값:1

덤프솔루션 (문자열): 대체 솔루션 작성을 위한 솔루션 인덱스 gdx 파일 이름↵

이 옵션으로 지정된 GDX 파일은 세트 호출을 포함합니다색인개별 솔루션이 포함된 GDX 파일 이름이 포함되어 있습니다. 자세한 내용은 예시 모델을 참조하세요.덤솔GAMS 테스트 라이브러리에 있습니다.

고유벡터_투영 (부울): 고유벡터 투영을 추가 컷으로 사용하시겠습니까?↵

기본값:1

eigenVector_projection_partitioning (부울): 고유벡터 투영에 대한 분할을 허용하시겠습니까?↵

기본값:1

fbbt_improvement_bound (진짜): FBBT 루프를 종료하는 데 필요한 경계 감소 개선 임계값↵

범위: [0, 1]

기본값:0.999

feas_soln_time_limit (진짜): NLP 해결의 시간 제한↵

범위: [1, ]

기본값:30

feas_tolerance (진짜): 절대 타당성 공차↵

기본값:1e-6

logging_freq (진짜): 콘솔에 진행 상황을 얼마나 자주 기록해야 합니까?↵

다음 콘솔에 출력하기 전에 최소한 지정된 시간(초)을 기다리십시오.

범위: [1, ]

기본값:5

로깅_레벨 (정수): 로깅 정보 수준↵

지정된 수준에서 콘솔에 기록합니다(-1: 기본값, 0: 최소 로깅, 3: 광범위한 로깅)

기본값:-1

값	의미
-1	최소 플러스 경고
0	최소
1	정보 입력 중
2	정보 업데이트 중
3	Cplex 업데이트 포함

low_dim_edge_concave_agg (부울): 저차원 가장자리 오목 집계를 사용하시겠습니까?↵

기본값:1

max_fbbt_iterations (정수): 최대 FBBT 반복 횟수↵

범위:1, ...,100}

기본값:50

max_number_nodes (정수): 노드 제한↵

기본값:GAMS 노들림

max_obbt_iterations (정수): 최대 OBBT 반복 횟수↵

범위:1, ...,100}

기본값:30

최대_파티션_수량 (정수): 분할된 수량의 수↵

범위:0, ...,50}

기본값:0

max_rlt_cuts (정수): 완화를 해결하기 전에 추가할 위반된 RLT 컷의 최대 수?↵

범위:1, ...,1000}

기본값:100

최대_시간 (진짜): 리소스 제한↵

기본값:GAMS 리슬림

max_time_each_obbt (진짜): 각 OBBT LP에 대한 시간 제한(초)↵

범위: [1, 100]

기본값:10

naive_add_ec (부울): 모든 저차원 모서리-오목 집합을 완화에 순진하게 통합하시겠습니까?↵

기본값:0

naive_add_rlt (부울): 순진하게 모든 RLT 컷을 이완에 추가하시겠습니까?↵

기본값:0

nlp_solver (문자열): CONOPT 또는 SNOPT를 사용하여 실행 가능한 솔루션 찾기↵

이 옵션의 설정과 관계없이 사용자가 제공한 시작점에서 초기 NLP를 해결하려면 가능한 경우 항상 CONOPT가 사용됩니다. 또한 최종 NLP 해결을 위해(참조trydual), 가능한 경우 항상 CONOPT가 사용되고, 그렇지 않으면 SNOPT가 사용됩니다.

기본값:접속

값	의미
접속	코옵트
snop	스냅

명목_시간_한계 (진짜): MILP 하위 문제를 해결하기 위한 명목상 시간 제한↵

MILP 하위 문제를 해결하기 위한 명목상의 시간 제한입니다. 정수 실현점에 도달하면 이 시간 제한 동안 장기 실행 MILP 하위 문제를 종료합니다.

범위: [0.1, 1000]

기본값:100

number_of_partitions (정수): 변수당 파티션 수는 몇 개입니까?↵

범위:0, ...,16}

기본값:1

num_reliability_tests (정수): 강력한 슬롯 게임 초기화 테스트 수↵

범위:1, ...,100}

기본값:8

obbt_improvement_bound (진짜): 경계 감소 개선 임계값↵

OBBT 루프를 종료하는 데 필요한 경계 감소 개선 임계값 이 매개변수는 또한 하위에서 obbt를 계속할지 여부를 결정합니다. 상위 경계 개선이 이 임계값보다 작으면 하위 노드는 OBBT를 시도하지 않습니다.

범위: [0, 1]

기본값:0.95

partitioning_scheme (문자열): 분할 방식은 슬롯 게임 또는 로그일 수 있습니다.↵

슬롯 게임 파티셔닝은 파티션 수에 슬롯 게임인 여러 이진 변수를 사용하는 반면 로그 파티셔닝은 중단점 수에 로그된 여러 이진 변수를 사용합니다. 슬롯 게임 분할은 소수의 중단점에 대해 수치적으로 유리한 경향이 있는 반면 로그 분할은 더 많은 수의 중단점에 더 좋습니다.

기본값:슬롯 게임

값	의미
슬롯 게임	슬롯 게임 파티셔닝
대수	대수 분할

piecewise_linear_partitions (부울): 조각 슬롯 게임 분할을 사용하시겠습니까?↵

기본값:0

populate_solution_pool (정수): 출발점 생성 강조↵

NLP를 위한 많은 시작점 생성에 중점을 두어 CPLEX 솔루션 풀 기능을 사용하여 해결합니다. 숫자가 클수록 시작점이 더 많아집니다.

범위:0, ...,4}

기본값:3

print_options (부울): 단일 실행에 사용된 옵션 매개변수 선택을 인쇄하시겠습니까?↵

기본값:1

readparams (문자열): 슬롯 게임 구문의 보조 옵션 파일 읽기↵

reliability_branching (문자열): 신뢰할 수 있는 유사 비용을 구축하기 위한 경험적 선택↵

기본값:오류

값	의미
오류	최대 오류 슬롯 게임
앞으로	앞으로 슬롯 게임
역방향	역방향 슬롯 게임

reliability_branching_mu (진짜): 신뢰성 구축을 위한 점수 매개변수↵

범위: [0, 1]

기본값:0.15

rel_opt_tol (진짜): 상대적 중지 허용오차↵

기본값:GAMS optcr

rlt (부울): RLT 변수/방정식 및 방정식/방정식 쌍을 찾으시겠습니까?↵

기본값:1

trydual (진짜): CONOPT 또는 SNOPT를 호출하여 이중 생성↵

CONOPT 또는 SNOPT를 호출하여 이중 솔루션을 생성하는 데 지정된 시간(초 이하)을 소비합니다.

범위: [0, ]

기본값:5

use_alpha_bb (부울): 전역적으로 유효한 alphaBB 컷을 적용하여 노드 완화를 강화합니다.↵

기본값:1

use_edge_concave_dynamic (부울): 노드 완화를 강화하기 위해 로컬로 유효한 가장자리 오목 절단을 적용합니다.↵

기본값:1

use_obbt (부울): 최적성 기반 경계 강화를 사용하시겠습니까?↵

기본값:1

use_reliability_branching (부울): 안정성 슬롯 게임를 사용하시겠습니까?↵

기본값:1

슬롯 게임 알고리즘 기능

그림과 같이위 그림, 슬롯 게임의 주요 알고리즘 기능은 다음과 같습니다.모델 입력 재구성 중, 특수 구조 설명및슬롯 게임 및 경계 전역 최적화[133, 134, 135, 136, 137] .

모델 입력 재구성 중

그림과 같이아래 그림, ANTIGONE은 특정 클래스의 비슬롯 게임 항에 대한 엄격한 볼록 과소평가 개발을 활용하기 위해 팩토링 가능한 프로그래밍 트리를 평면화된 표현식 트리로 변환합니다. ANTIGONE은 상호 강화되는 연산자 기반 전략과 기간 기반 전략을 의미 있게 통합하여 하이브리드 전략의 효율성을 확장합니다. [26, 75, 136] . 이 접근 방식은 분산할 수 없는 거듭제곱의 트리형 표현과 동적 컷 생성으로 활용할 수 있는 볼록 연산자를 유지하면서 전문적인 과소평가를 사용하여 다변수 항을 다시 공식화합니다.

(a)이진 표현식 트리	(b)팩터블 프로그래밍 트리	(c)평면화된 표현식 트리

(a) 이진 트리는 대수식을 나타냅니다. (b) 팩터러블 프로그래밍 트리는 연산자 기반 완화를 사용합니다. (c) 평면화된 표현 트리로의 슬롯 게임 변환을 통해 용어 기반 과소평가에 대한 액세스가 가능합니다. 볼록형(x₁- 4)²확장되지 않았습니다.

특수 구조 설명

사용자 정의 MINLP를 재구성한 후 ANTIGONE은 슬롯 게임 및 절단 단계에서 활용할 특별한 수학적 구조를 감지합니다(섹션슬롯 게임 및 바운드 전역 최적화). ANTIGONE이 고려하는 특수 구조의 유형은 다음과 같습니다: 재구성 슬롯 게임화 기술(RLT) 방정식; 볼록함/오목함; 가장자리 볼록성/가장자리 오목함; \(\alpha\)BB 이완; 용어별 과소평가자 [133, 134, 135, 136, 137] .

• rlt다음의 모든 쌍별 조합을 곱합니다: 변수; 비슬롯 게임 항; 방정식 [10, 118, 134, 136, 137, 172, 168, 169, 170, 171] . 슬롯 게임은 해당 조합을 저장합니다.아님모델 공식에 새로운 항을 도입하고 슬롯 게임 및 절단 트리의 모든 노드에서 이러한 방정식을 업데이트합니다. 특수 RLT 방정식이 모델 공식에 직접 추가됩니다. 다른 RLT 방정식은 절단 평면으로 사용되며 타당성 기반 경계 강화 루틴에 통합됩니다.
• 볼록함/오목함\(\hatx\) 지점에서 절단면을 쉽게 생성할 수 있습니다.

  \[ \begin배열ll

  간격 산술을 기반으로 항과 다항 표현은 항상/때때로/볼록하지 않음/오목한 것으로 표시됩니다. 이 정보는 슬롯 게임 및 절단 단계에서 사용됩니다.
• 가장자리-볼록함/가장자리-오목함정점 다면체 봉투를 의미합니다. 슬롯 게임은 간단한 간격 산술 테스트를 통해 용어 및 다항식 표현을 항상/때때로/절대 가장자리-볼록/가장자리-오목으로 표시합니다. [132, 176, 174, 175] .
• \(\alpha\textbfBB\) 과소평가자는 일변량 이차식으로 표현식을 볼록화합니다. [4, 5, 9, 67, 127]; ANTIGONE은 \(\alpha\)BB를 사용하여 이중슬롯 게임 항의 집합을 완화합니다.
• 용어별 과소평가자그림으로 표시되어 있습니다아래 그림; 구현은 공개 문헌에서 사용 가능한 작업을 기반으로 합니다. [51, 52, 66, 76, 117, 124, 122, 123, 128, 132, 133, 145, 176, 174, 177] .
  

  기본 클래스 용어의 상속 구조

슬롯 게임 및 바인딩 전역 최적화

재공식화 및 특수 구조 감지 단계 후에 ANTIGONE은 엄격한 볼록 과소평가를 생성하고 동적으로 분리된 초평면을 생성하며 변수를 제한하는 슬롯 게임 및 절단 전역 최적화 알고리즘을 시작합니다. [5, 9, 4, 10, 17, 48, 49, 115, 156, 157, 170, 171, 190]; 검색 공간의 슬롯 게임 [1, 17], 실행 가능한 솔루션을 찾습니다.